Реферат: Метод виокреслення лінійно незалежних векторів
1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V.
Візьмемо систему векторів а1, а2 ..., аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.
а=Х1 а1 +Х2 а2 +… Хn an ,Xs є R(1) утворює лінійний підпростір V у Rm .
Справді, якщо а= в=, Хs ,Ys є R
а, в є V, то виконується рівність
La+Bb =, тобто La+Bb є V.
Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а1, а2 ,..., аn, або підпростором, породженим векторами а1, а2 ,..., аn .
2.Означення: Упорядкована сукупність m дійсних чисел а1, а2 ,… аm називається m-вимірним вектором.
Числа а1, а2 ,… аm називаються кординатами вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка на навпаки називається транспортуванням вектора.
Означення: Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.
Означення: Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і назначається Rm .
Векторні простори R1, R2 ,R3 можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.
Означення: Вектори а1, а2 ,..., аn називаються лінійно незалежними, якщо рівність Х1 а1 +Х2 а2 +… Хn an = О (1)
виконується лише при Х1 = 0, Х2 = 0,..., Хn =0.
Якщо рівність (1) досягається тоді, коли коефіцієнти Х1, Х2 ,… Хn не перетворюються одночасно на нуль, то вектори а1, а2 ,..., аn. у одновимірному векторному просторі R, тобто на прямій, будь-який ненульовийвектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.
3.Означення: Найбільше число r лінійно незалежних вектора у системі векторів а1, а2 ,..., аn називається її рангом і позначається
r= rank (а1, а2 ,..., аn ).
Якщо ранг системи n векторів дорівнює R(r<n), то будь-які (r+1) векторів цієї системи лінійно залежні. Число L = n-r називається дефектом системи векторів.
Обчислюючи ранг системи векторів, можна транспортувати вектори, тобто замінювати вектори – стовпці векторами – рядками. У результаті транспортування ранг системи векторів не змінюється.
Щоб обчислити ранг системи векторів, виокреслюємо в ній лінійно незалежні вектори.
З огляду на сказане дістаємо такий метод виокреслення лінійно незалежних векторів.
1.У заданій системі векторів а1, а2 ,..., аn відшукуємо вектор, в якого перша координата відмінна від нуля. Якщо всі перші координати векторів а1, а2 ,..., аn дорівнюють нулю, то шукаємо вектор, в якого друга координата відмінна від нуля, і т.д. Нехай це буде вектор а1 .
2.Множимо вектор а1 на Ві (і=2,...,n) і віднімаємо від вектора аі (і=2,...,n) так, щоб вибрана координата перетворилася на нуль.
3.Зі здобутих векторів ві = аі – Ві аі (і= 2,..., n) знову виокремлюємо вектор, лінійно незалежний від інших векторів, способом, зазначеним у nю 1 і 2.
Кількість лінійно незалежних векторів дорівнює рангу системи векторів.